solucionario de econometria Damodar N. Gujarati capitulo 3-4

diciembre 06, 2016

solucionario de econometria Damodar N. Gujarati capitulo 3-4

EL CAPÍTULO 3 DE DOS VARIABLES MODELO DE REGRESIÓN: EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN

3.1 (1) Y = fi\ + fiiX + Ui. Por lo tanto,

E(Yi|jf;) = E[ ( / ? ,+ / ? 2jf, + " , ) |A']

= / ?i + /tiX + E iUi|Xf ), ya que los pies son constantes y X es nonstochastic.

= + Fiixi, ya que E(w/ |X,) es cero por supuesto.

(2) Dado cov(m/W7) = 0 para V para todos i,j (/ * 7), luego

Covcf^y) = E{ [Yj, sellada, - E(Yj, sellada,) ] [Yj, sellada, - E(Yj, sellada,) ]}

= E (UjUj), a partir de los resultados en la (1)

= E(w, )E( " / ), ya que el término de error no están correlacionados por hipótesis,

= 0, ya que cada w * tiene media cero por supuesto.

(3) Dado var(w/ \Xj) = < j2, var (YjVXi) = E[Yj, sellada, - E(Yj, sellada,) ]2 = E(w,2) = var( " , \Xi) = cr2, por supuesto.

3.2	Yi	Xt	Yi	Xj	Xiyi	Xi2
	4	1	-3	-3	9	9
	5	4	-2	0	0	0
	7	5	0	1	0	1
	12	6	5	2	10	4
Suma	28	16	0	0	19	14

Nota: Y = 7 y X = 4

. 10 _ . _

Por lo tanto, - - = 1,357 ; p ,= Y -p2X = 1,572

3.3 La PRF: Yj, sellada, = fi\ + fiiX + u,

Situación en la que me: fix = 0, colocar = 1 y E {u^ = 0, lo que da E(Yj, sellada, \Xi ) = X-, la situación 2: fix = \ ,fii = 0 y E (u,) = (X -1), en la que se da

E(Yi|jr,) = X,

Que es la misma situación 1. Por lo tanto, sin el supuesto E(uj) = 0, se puede estimar los parámetros, ya que, como acabamos de ver, se obtiene la misma distribución condicional de Y a pesar de que la asume los valores de los parámetros en las dos situaciones se sale diferente.

3.4 Imponer la primera restricción, obtenemos:

(Yi- £i- £xi) =o esa simplificación produce el primer ecuación normal.

La segunda restricción, obtenemos:

£ "" Xi= YSff' -P'- P2 = s XijXi]

Esa simplificación produce el segundo ecuación normal.

La primera restricción corresponde a la hipótesis de que E(uj\Xi) = 0. La segunda restricción corresponde a la hipótesis de que la población término de error está correlacionada con la variable explicativa Xi, es decir, cov(uiXj) = 0.

3.5 Desde el Cauchy-Schwarz desigualdad se deduce que:

E(XY) ^2

E(X^{2 )}E(Y2)

2 Y(x,yi)2

Ahora a r = ^ 2_, -y < 1, por analogía con la Cauchy-Schwarz

¿_jXi 2 ^yi

La desigualdad. Esto también se aplica en el caso de p2, la población coeficiente de correlación al cuadrado.

3.6 Tenga en cuenta que:

^ XiVi ^ XiVi

Ref * = -Y P ** = V-r

Multiplicando los dos, obtenemos la expresión de r2, el coeficiente de correlación al cuadrado muestra.

A A

3.7 Aunque fiyx. fixy=1, aún puede importar (por causalidad y teoría) si Y es retrocedido en X o X en Y, ya que es solo el producto

UN UN

De los dos que es igual a 1. Esto no es decir que fiyx = fixy.

Ÿ_ÿ-n + l

3.8 Los medios de los dos variables son las siguientes: 2 Y El

Correlación entre las dos clasificaciones es:

( ,)

En letras pequeñas como de costumbre denotan desviación de los valores promedio. Desde las clasificaciones son permutaciones de los primeros n números naturales,

Yx2 -YX2 ' -^{n(n +} Wn+l) n(n + l)2 _ n{n2 -1) ^X' ' N 6 4 12

Y de igual manera,

Yy = ^lz] ) >¿ * r ₁₂

£ < /2 = ' EiXi-r.) = £ < - " 2+K,2-2J5K)

_ 2N(n + 1) (2k +1) ^yi 6 ^Z-

Por lo tanto, Y XY = " (W + 1X2" + 1> - -- (2)

^ 6 2

2 >ZK

Desde Yxyi = YXYi------- , Utilizando (2), Nos Obtener

.2 V"1 J2

_X W(w + L)2 _ " (W2 -1) ^

3 2 4 12 2

Ahora sustituyendo a la anterior en las ecuaciones (1), obtendrá la respuesta.

3.9 (A) 0 \= Y-fiiX I Y A = Y - Colocar X [Nota: _Xi = (Xi - X)]

= Y, desde Z * / = 0

Var( / ?i) =-------- (T2 Yvar() \ )=---------------- A2 = -

RCY Xi² Riy" Xi²^N

Por lo tanto, ni las estimaciones ni las variaciones de los dos estimadores son los mismos.

_UN

(b) Fii =--------- Y A\ =---------- , Desde Xj = (Xj - X)

2X Zx'2

UN UN ^J2

Es fácil comprobar que var( fii)- var(a2) =

Es decir, los cálculos y las variaciones de los dos pendiente los estimadores son los mismos.

(c) Modelo II puede ser más fácil de usar, con gran X números, aunque con alta velocidad ordenadores esto ya no es un problema.

3.10 Desde ^Tixi iyi = ^= 0, es decir, la suma de las desviaciones de valor medio es siempre cero, x = y = 0 también son cero. Por lo tanto,

A - a -

Fi\ = y /h x = 0. El punto aquí es que si tanto Y y X se expresan como desviaciones de los valores promedio, la línea de regresión pase por el origen.

Z O- * ) >> ' - >0

(H =----------- =---- , Desde Medios De Los dos

2 > -i)2 2 >!

Las variables son cero. Esta ecuación (3.1.6 ).

3.11 AXJ que Zj = + b y Wj = cYi + d. Desviación en forma, estos son: Zj = axi y wi = cy". Por definición,

Y'ziWi CAJ, xiyi

R2= ■ ==-- 1 =N En Eq. (3.5.13 )

^ | 2 >22 >2

3.12 (A) Verdadero. Vamos a y c iguales -1 y b y d igual a 0 en cuestión 3.11 .

(b) Falso. Una vez más usando pregunta 3.11 , será negativo.

E Y, respectivamente) son positivos, y ryx = fiyx y rxy =

Fixy-, y a continuación, fixy fiyx debe ser positiva.

3.13 Y Z = Xi + X2 y W = X2 y X3. Desviación en forma, podemos escribir como z = xi + X2 y w = x2 + X3. Por definición la correlación entre Z y W es la siguiente:

7 ZiWi Y>l + * 2)( * 2 + X3)

^ 2 >22 >2 JX (x' +x2)2£ (x2+x3)2

I>2

= . , Debido a que el X son

J(ZX l2 + ZX22) (Z^22

No correlacionados. Nota: Se han omitido la observación subscript para mayor comodidad.

= , .a = = -, donde cr2 es la varianza común. Y] (2a2 + 2cr2) 2

El coeficiente no nulo porque, a pesar de que la X son individualmente, los pares no son combinaciones.

Como se muestra en la figura, ^zw = a2, lo que significa que la covarianza entre z

Y w es una constante diferente de cero.

3.14 Los valores residuales y equipado los valores de Y no va a cambiar. Deje que

Yj, sellada, = / ?i + / 3xix hasta mediadidos + w y Yj, sellada, = a \ +aiZi + m, donde Z = 2X, mediante la desviación típica forma, sabemos que

" 2>

/ ?2 =--- , Omitiendo la observación subíndice.

2 >!

. Zz- >" 2I>' , .

"2 =----- =----- = - Fii

/ ?I= Y-fiiX\ \= Y -cnzboard= . (Nota: Z = 2 X)

Que es la intersección plazo no resulta afectada. Como resultado de ello, los valores de Y y los residuos siguen siendo los mismos aunque Xi se multiplica por 2. El análisis es análogo si una constante es agregado a X{.

3.15 Por definición,

2 >2

Ryy = ■

(2 > ' )2 > !) < 2 >Jx2 >2 >5 >.

£ ( ,W h1 ^2

Desde s s ,ut =0. =-- =------ = R2, Utilizando (3.5.6 ).

2 >2 >2 2

3.16 (A) Falso . La covarianza puede asumir cualquier valor; su valor depende de las unidades de medida. El coeficiente de correlación, por otro lado, es unidad, es decir, se trata de un puro número.

(b) Falso. Ver Fig.3.1 \h. Recuerde que coeficiente de correlación es una medida de relación lineal entre dos variables. Por lo tanto, como Fig.3.1 \h muestra , existe una perfecta relación entre Y y X, pero esa relación no es lineal.

Yi = yi + ui

Por lo tanto, es obvio que si incurrimos ^, en yn la pendiente coeficiente será uno y la intersección cero. Pero una prueba oficial puede proceder de la siguiente manera:

Si incurrimos en yi y>, obtenemos la pendiente coeficiente, digamos, una como:

PYjW hi a = = = = 1, porque

FZ S * '* 2 e

UN * UN _

Yi = fixiand lLxlyi = ft para el modelo de dos variables. La intersección de esta regresión es cero.

3.17 Escribir la muestra regresión: Yf = f3x + m, . Por principio, se desea minimizar: -Fix)1. Distinguir esta ecuación

Con el único parámetro desconocido y establecer la expresión resultante a cero, para obtener:

^ 4^ = 2 £ff- ( -l) = 0

Dp\

Que en el proceso de simplificación le da solución = Y ,es decir, la media de la muestra. Y

<J2

Sabemos que la varianza de la media de la muestra es -, donde n es el

Tamaño de la muestra, y a2 es la varianza de Y. El RSS es

Y (Y - Y)2 = A yf y &2 = ■. Vale la pena agregar el

^ ^ (N-1) (W-1) ⁶

Variable X a la modelo si reduce el & 2 significativamente, lo cual lo hará si X tiene alguna influencia en Y. En breve, en los modelos de regresión esperamos que la variable explicativa(s) predecir mejor Y que simplemente su valor medio. De hecho, este puede ser visto formalmente.

Recordemos que en el modelo de dos variables que obtenemos de (3.5.2 ),

RSS = SAT - ESS

= 2 >M>,2

Por lo tanto, si J32 es diferente de cero, RSS de la modelo que contiene al menos un regresor, será menor que el modelo con un regresor. Por supuesto, si hay más los regresores del modelo y su pendiente los coeficientes son diferentes de cero, el RSS será mucho menor que los no-regresor modelo.

Problemas

3.18 Tomando en cuenta la diferencia entre las dos filas, obtenemos: d -2 1 -1 3 1-0-1 2

D2 4 1 1 9 0 1 1 4 1 4 D2 = 26

Por lo tanto, coeficiente de correlación de Spearman es

Rs = 1- ^-- = 1 ^6
(26) = 0,842

N(n - 1 ) 10 (102-1)

Por lo tanto, existe un alto grado de correlación entre el estudiante de

Evaluación intermedia y final. El mayor es el rango en el mediano plazo, la

Más alto es el rango en la final.

3.19 (A) El valor de la pendiente de -4.318 sugiere que en el período 1980-1994, por cada unidad de aumento en el precio relativo, en promedio, la (GM/ $) disminución del tipo de cambio de 4,32 unidades. Es decir, el

Depreciación del dólar porque se obtiene menos marcos alemanes por cada dólar intercambiado. Interpretaba literalmente, la intersección de 6,682 valor significa que si el precio relativo de cero, un dólar, cambio de 6,682 marcos alemanes. Por supuesto, esta interpretación no es económicamente significativa.

(b) El valor negativo de la pendiente coeficiente hace perfecto sentido desde el punto de vista económico porque si los precios suben más rápido que los precios en Alemania, los consumidores domésticos se cambiará a alemanes, con lo que aumenta la demanda de GM, que dará lugar a la apreciación

De la marca alemana. Esta es la esencia de la teoría de la paridad del poder adquisitivo (PPA), o la ley del precio único.

(c) En este caso la pendiente coeficiente se espera que sea positivo, ya que cuanto mayor sea la relación con IPC Alemán el IPC de ESTADOS UNIDOS, la mayor tasa de inflación relativa en Alemania, en la que se conducen a la apreciación del dólar de EE.UU. Una vez más, este es el espíritu de la PPA.

3.20 (A) La scattergrams son los siguientes:

PRODBUS

PRODNFB

(b) Como los diagramas muestran, existe una relación positiva entre salarios y productividad, lo cual no es sorprendente en vista de la teoría de productividad marginal del trabajo economía.

(c) Como demuestran las cifras anteriores, la relación entre los salarios y la productividad, aunque positivo, no es lineal. Por lo tanto, si tratamos de colocar un modelo de regresión lineal de los datos puede que no obtengamos un buen ajuste. En un capítulo posterior, veremos qué tipos de modelos

Es adecuado para esta situación. Pero si de forma sistemática montar el modelo lineal de los datos, obtenemos los siguientes resultados.

Wagebus + 2,0039 = -109.3833 Prodbus

Se = (9,7119 ) (0,1176 ). 0,8868 R^

Wagenfb = -123.6000 Prodnfb + 2,1386 r2 = 0,8777 se = (11,0198 ) (0,1312 ).

Cuando el autobús = sector empresarial, nfb = sector de empresas no agrarias prod = productividad medida por la producción por hora y salario = remuneración por hora.

Como era de esperar, la relación entre las dos es positiva. Sorprendentemente, el valor r2 es bastante alta.

3.21	En	I * ,	I"
Datos originales:	1110	1700	205500	322000	132100
Datos Revisados	1110	1680	204200	315400	133300

Por lo tanto, corregir el coeficiente de correlación es 0,9688

3.22 Si parcela estas variables en función del tiempo, se ve que por lo general, se han desplazado hacia arriba; en el caso de oro hay una gran volatilidad de los precios.

(b) Si la hipótesis es cierta, se podría esperar que / ?2 > 1.

Se = (125,403 ) (1,215 ) R2 = 0,150

NYSEt = -102.060 + 2,129 IPCT

Se (23,767 ) (0,230 ) R^ 0,868

Parece que el mercado de valores es una mejor cobertura contra la inflación que el oro. Como veremos en el Capítulo 5, la pendiente de la ecuación precio del oro no es estadísticamente significativa.

3.23 (A) La trama es como se indica a continuación, donde NGDP y RGDP son nominales y

PIB. Eooo

100001 R

6000

6000.

4000.

4000

2000.

2000

60 ¿5 ' ' '16 16 ¿ ¿5 90 ¿5

| NGDP RGDP |

8000.

(B)

NGDPt =

+ -986.3317

201,9772 Tiempo

R2 = 0,9277

Se = (1907,715 )+ 128,7820

R2 = 0,9914

+ RGDPt = 1907,715 128,7820

Se = (45,1329 ) ( 1,9666 )

(b) La pendiente hace que la tasa de cambio del PIB por unidad de tiempo.

(d) Como la figura y los resultados de la regresión indican, el PIB nominal ha estado creciendo más rápidamente que el PIB real lo que sugiere que la inflación ha aumentado con el paso del tiempo .

3.24

3,25

Este es muy sencillo.

(a) Véase la figura del ejercicio 2.16 (d)

(b) Los resultados de la regresión son los siguientes:

Y +1.436 -198.126 = ^, se=( 25,211 ) (0,057 ) r2= 0,966

Donde 7= mujer verbal puntuación yx = macho puntuación verbal.

(c) Como se señala en el texto, una relación estadística, por fuerte que sea, no demostrar la relación de causalidad, la cual debe ser establecido de antemano. En este caso, no hay razón para sospechar relación causal entre las dos variables.

3.26 Los resultados de la regresión son los siguientes:

-189.057€ +1.285 =X, se=( 40,927 ) (0,082 ) r2 = 0,918

3.27 Este es un proyecto de la clase.

EL CAPÍTULO 4

LA SUPOSICIÓN DE NORMALIDAD: CLÁSICO MODELO DE REGRESIÓN LINEAL NORMAL (CNLRM)

Ejercicios Apéndice 4A

4.1 Dado que el coeficiente de correlación entre Yi y Y2, p, es

Cero, el PDF normal bivariada reduce a:

F(Yi,Y2) = ---expl-- ( --- )2

= F(Y), f(Y2)

Donde f(Yi) y f(Y2) son las normal univariante pdf Por lo tanto, cuando p es cero, f(Yi,Y2) = f(Yi)f(Y2), que es la condición de independencia estadística. Por lo tanto, en el caso normal bivariada, cero correlación implica independencia estadística.

4.2 Para garantizar que los estimadores de mï¿ ½ima verosimilitud maximizar la

Probabilidad función, el segundo derivados de Eq. (5) en Ap. 4A debe ser menor que cero, lo que garantizará que RSS es minimizada.